Персональный блог. Темы: физика, ход солнца, солнечные часы

 
 
 Категории
   
 
 
 Популярные
   
 
 
 
 
  Равноускоренное с двумя интервалами
Категория: Физика | Автор: daybit | (2017-01-11 00:46)
 
Обновлено:

За недавнее время несколько раз попалась задача следующего содержания

Цитата:
Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и N вагонов, преодолевает прямолинейный участок железной дороги с постоянным ускорением. Стоящий у края этого участка наблюдатель заметил, что локомотив поезда проезжает мимо него за такое же время, за какое проезжают последние Q вагонов. Во сколько раз увеличивается скорость поезда за время, в течение которого он проезжает мимо наблюдателя? Ответ округлить до целых. Считать, что локомотив и вагоны одинаковы по своей длине и расположены вплотную друг за другом.

Попадались такие варианты
* N = 20, Q = 6
* N = 9, Q = 4

Один раз я прокинул - получилось. Другой раз потупил и решил. Третий раз затупил вообще сильно. )

Попробуем решить в общем виде.

Пусть ускорение = а, длина локомотива (и любого вагона) = L, время от начала движения до момента проезда мимо наблюдателя:
* начала локомотива = t1;
* конца локомотива t2;
* начала последних Q вагонов t3;
* конца состава t4.

Тогда из условия
t2-t1 = t4-t3 (1)
a*t2^2/2 - a*t1^2/2 = L (2)
a*t3^2/2 - a*t2^2/2 = (N-Q)*L (3)
a*t4^2/2 - a*t3^2/2 = Q*L (4)

(4)/(2) ==> (t4+t3)/(t2+t1) = Q
t4+t3 = Q*t2+Q*t1 (5)
(5)+(1) ==> 2*t4 = (Q+1)*t2+(Q-1)*t1 ==>
нам не нужно t2, поэтому влево уносим его:
(Q+1)*t2 = 2*t4 - (Q-1)*t1 =>
t2^2 = (4t4^2-4*(Q-1)*t1*t4+(Q-1)^2*t1^2)/(Q+1)^2 (6)

(3)+(4) => a*t4^2/2 - a*t2^2/2 = N*L = N*(a*t2^2/2 - a*t1^2/2)
t4^2 - t2^2 = N*(t2^2 - t1^2)
t2^2 = (t4^2 + N*t1^2)/(N+1) (7)
(6) = (7) ==> (4t4^2-4*(Q-1)*t1*t4+(Q-1)^2*t1^2)/(Q+1)^2 = (t4^2 + N*t1^2)/(N+1)
(4t4^2-4*(Q-1)*t1*t4+(Q-1)^2*t1^2)*(N+1) = (t4^2 + N*t1^2)*(Q^2+2Q+1)
x = t4/t1
(4x^2-4*(Q-1)*x+(Q-1)^2)*(N+1) = (x^2 + N)*(Q^2+2Q+1)
Лениво решать (а может и не смогу, но вы можете просто подставить уже имеющиеся числа в явном виде и дорешать), поэтому подставляю в вольфрам:

x = (4NQ-Q^2+2Q-1)/(4N-Q^2-2Q+3)

подставляем N, Q, получаем ответ

Ниже - альтернативное решение для N = 20, Q = 6

Пусть w - длина начального разгона (от нулевой скорости до пересечения наблюдателя и начала поезда), и пусть он выражен в L (длина локомотива или вагона), тогда из t = sqrt(2L/a) имеем
t1 = sqrt(2L/a) * sqrt(w)
t2 = sqrt(2L/a) * sqrt(w+1)
t3 = sqrt(2L/a) * sqrt(w+15)
t4 = sqrt(2L/a) * sqrt(w+21)

sqrt(w+1) - sqrt(w) = sqrt(w+21) - sqrt(w+15)
sqrt(w+1) - sqrt(w) = sqrt(w+21) - sqrt(w+15)
sqrt(w+1) + sqrt(w+15) = sqrt(w) + sqrt(w+21)
2w+16 + 2sqrt[(w+1)(w+15)] = 2w+21 + 2sqrt[w(w+21)]
4*(w^2+16w+15) = 25 + 4*(w^2+21w) + 20sqrt(w^2+21w)
-w + 7/4 = sqrt(w^2+21w)
(7/4)^2 - 7w/2 + w^2 = w^2+21
49 - 56w = 336w
w = 1/8
откуда искомое соотношение
sqrt(1/8+21)/sqrt(1/8) = sqrt(169) = 13

Хотя все эти возведения в квадрат мне всегда не нравятся возможными лишними (или упущенными) корнями.

Поскольку ничего умнее в голову не пришло, прокинул прожку для выявления целочисленных вариантов:
Раскрыть
procedure TForm1.tr1Change(Sender: TObject);
var d0,d1: Double;
Q,N: Integer;
begin
// 170111 x = (4NQ-Q^2+2Q-1)/(4N-Q^2-2Q+3)
Q:=tr1.Position;
cht1.Series[0].Clear;
cht1.Series[1].Clear; edt1.Text:='';
for N:=Q+1 to Q+100 do
begin
d0:=(4*N*Q-Q*Q+2*Q-1);
d1:=(4*N-Q*Q-2*Q+3);
if Abs(d1)<1e-4 then Continue;
d0:=d0/d1;
if d0<0 then Continue;
cht1.Series[0].AddXY(N,d0);
if Abs(d0-Round(d0))<1e-5 then
begin
cht1.Series[1].AddXY(N,d0);
edt1.Text:=edt1.Text+Format(' N=%d',[N]);
end;
end;
lbl1.Caption:=Format('Q=%d',[Q])
end;

Которая дала такие варианты целочисленных решений:
Q=3; N=4, N=5, N=7, N = 11;
Q=4; N=6, N=9, N=24;
Q=5; N=9 N=10 N=11 N=12 N=14 N=17 N=20 N=26 N=44
Q=6; N=13 N=20
Q=7; N=16 N=17 N=18 N=19 N=21 N=23 N=27 N=31 N=39 N=47 N=63
Q=8; N=20 N=21 N=26 N=35
Q=9; N=25 N=26 N=28 N=29 N=32 N=34 N=44 N=49 N=64 N=74
Q=10; N=30 N=32 N=54
и так далее.

Напоследок - график для одного из вариантов решения.
https//daybit.ru/img2/2017-01-11_grafik_poezd_ravnouskorenn.png


 




----
 
 Календарь
 
« Декабрь 2017 »
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
 
 
Архив сайта
   
 
 
© 2012-2015 daybit
Движок: NG CMS
SQL запросов: 7 | Генерация страницы: 0.08 сек 
Яндекс.Метрика