Физика » Равноускоренное с двумя интервалами 2017-01-11 00:46 от daybit |
За недавнее время несколько раз попалась задача следующего содержанияЦитата: Попадались такие варианты * N = 20, Q = 6 * N = 9, Q = 4 Один раз я прокинул - получилось. Другой раз потупил и решил. Третий раз затупил вообще сильно. ) Попробуем решить в общем виде. Пусть ускорение = а, длина локомотива (и любого вагона) = L, время от начала движения до момента проезда мимо наблюдателя: * начала локомотива = t1; * конца локомотива t2; * начала последних Q вагонов t3; * конца состава t4. Тогда из условия t2-t1 = t4-t3 (1) a*t2^2/2 - a*t1^2/2 = L (2) a*t3^2/2 - a*t2^2/2 = (N-Q)*L (3) a*t4^2/2 - a*t3^2/2 = Q*L (4) (4)/(2) ==> (t4+t3)/(t2+t1) = Q t4+t3 = Q*t2+Q*t1 (5) (5)+(1) ==> 2*t4 = (Q+1)*t2+(Q-1)*t1 ==> нам не нужно t2, поэтому влево уносим его: (Q+1)*t2 = 2*t4 - (Q-1)*t1 => t2^2 = (4t4^2-4*(Q-1)*t1*t4+(Q-1)^2*t1^2)/(Q+1)^2 (6) (3)+(4) => a*t4^2/2 - a*t2^2/2 = N*L = N*(a*t2^2/2 - a*t1^2/2) t4^2 - t2^2 = N*(t2^2 - t1^2) t2^2 = (t4^2 + N*t1^2)/(N+1) (7) (6) = (7) ==> (4t4^2-4*(Q-1)*t1*t4+(Q-1)^2*t1^2)/(Q+1)^2 = (t4^2 + N*t1^2)/(N+1) (4t4^2-4*(Q-1)*t1*t4+(Q-1)^2*t1^2)*(N+1) = (t4^2 + N*t1^2)*(Q^2+2Q+1) x = t4/t1 (4x^2-4*(Q-1)*x+(Q-1)^2)*(N+1) = (x^2 + N)*(Q^2+2Q+1) Лениво решать (а может и не смогу, но вы можете просто подставить уже имеющиеся числа в явном виде и дорешать), поэтому подставляю в вольфрам: x = (4NQ-Q^2+2Q-1)/(4N-Q^2-2Q+3) подставляем N, Q, получаем ответ Ниже - альтернативное решение для N = 20, Q = 6 Пусть w - длина начального разгона (от нулевой скорости до пересечения наблюдателя и начала поезда), и пусть он выражен в L (длина локомотива или вагона), тогда из t = sqrt(2L/a) имеем t1 = sqrt(2L/a) * sqrt(w) t2 = sqrt(2L/a) * sqrt(w+1) t3 = sqrt(2L/a) * sqrt(w+15) t4 = sqrt(2L/a) * sqrt(w+21) sqrt(w+1) - sqrt(w) = sqrt(w+21) - sqrt(w+15) sqrt(w+1) - sqrt(w) = sqrt(w+21) - sqrt(w+15) sqrt(w+1) + sqrt(w+15) = sqrt(w) + sqrt(w+21) 2w+16 + 2sqrt[(w+1)(w+15)] = 2w+21 + 2sqrt[w(w+21)] 4*(w^2+16w+15) = 25 + 4*(w^2+21w) + 20sqrt(w^2+21w) -w + 7/4 = sqrt(w^2+21w) (7/4)^2 - 7w/2 + w^2 = w^2+21 49 - 56w = 336w w = 1/8 откуда искомое соотношение sqrt(1/8+21)/sqrt(1/8) = sqrt(169) = 13 Хотя все эти возведения в квадрат мне всегда не нравятся возможными лишними (или упущенными) корнями. Поскольку ничего умнее в голову не пришло, прокинул прожку для выявления целочисленных вариантов: Раскрыть procedure TForm1.tr1Change(Sender: TObject); Которая дала такие варианты целочисленных решений: Q=3; N=4, N=5, N=7, N = 11; Q=4; N=6, N=9, N=24; Q=5; N=9 N=10 N=11 N=12 N=14 N=17 N=20 N=26 N=44 Q=6; N=13 N=20 Q=7; N=16 N=17 N=18 N=19 N=21 N=23 N=27 N=31 N=39 N=47 N=63 Q=8; N=20 N=21 N=26 N=35 Q=9; N=25 N=26 N=28 N=29 N=32 N=34 N=44 N=49 N=64 N=74 Q=10; N=30 N=32 N=54 и так далее. Напоследок - график для одного из вариантов решения. |